《极品男奴》60 无‘齿’

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💡解答   首先，我们先分析全微分的形式： 已知  \mathrm{d}f(x,y) = \frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2 + y^2} ，可以变形为：    \mathrm{d}f(x,y) = \frac{\frac{x\mathrm{d}y - y\mathrm{d}x}{x^2}}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} = \mathrm{d}\left(\arctan\frac{y}{x}\right)    所以  f(x,y) = \arctan\frac{y}{x} + C （ C  为常数）。       代入初始条件  f(1,1) = \frac{\pi}{4} ：    \arctan\frac{1}{1} + C = \frac{\pi}{4} \implies \frac{\pi}{4} + C = \frac{\pi}{4} \implies C = 0    因此  f(x,y) = \arctan\frac{y}{x} 。       计算  f(\sqrt{3}, 3) ：    f(\sqrt{3}, 3) = \arctan\frac{3}{\sqrt{3}} = \arctan\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}    最终答案：  \boxed{\frac{\pi}{3}}        你要不要我帮你总结一下这类全微分求原函数的常见变形方法，方便你后续解题？